,
– 365 дней в долях от календарного года (год = 365 дней);
- 30 дней в долях от календарного года (год = 365 дней);
- время до даты экспирации ближайшей серии опционов включительно в долях от календарного года (год = 365 дней);
- время до даты экспирации следующей серии опционов включительно в долях от календарного года (год = 365 дней);
- подразумеваемая волатильность ближайшей серии опционов;
- подразумеваемая волатильность следующей серии опционов.
Волатильности ближайшей и следующей серий опционов определяются уравнениями:
где
- шаг страйка (в целях расчета индекса используются основные страйки, промежуточные страйки не используются);
- время до даты экспирации опциона ближней серии включительно в долях от календарного года (год = 365 дней). Изменяется каждые 15 секунд;
– время до даты экспирации опциона дальней серии включительно в долях от календарного года (год = 365 дней). Изменяется каждые 15 секунд;
- i-й страйк. При этом (в целях расчета индекса используются основные страйки, промежуточные страйки не используются);
– котировки фьючерсных контрактов, являющихся базовым активом опциона ближайшей серии и опциона следующей серии соответственно.
Котировка фьючерсного контракта равна либо цене последней сделки, либо цене лучшей активной заявки на продажу (которая меньше цены последней сделки) либо цене лучшей активной заявки на покупку (которая больше цены последней сделки) в текущий момент. В случае, если сделок в текущей сессии до момента расчета котировки фьючерса не было, используется среднеарифметическое значение между ценами лучшей активной заявки на покупку и лучшей активной заявки на продажу. Если на момент расчета активные заявки на покупку и активные заявки на продажу отсутствуют, используется расчетная цена, определенная по итогам ближайшего предыдущего расчетного периода.
– стоимость опциона для i-го страйка, определяемая по определенному алгоритму.
Подробно с методикой расчета индекса RVI можно ознакомиться на сайте Московской биржи в разделе «Индексы/Индекс волатильности». К сожалению, там вы не найдете ссылок на ресурсы, объясняющие каким образом получены указанные выше формулы, и какой они несут экономический смысл. Для поиска первоисточников обратимся к методике расчета индекса волатильности Чикагской Биржи CBOE – VIX.
The CBOE Volatility Index (VIX)
В 1993 году Chicago Board Options Exchange (CBOE) начала рассчитывать и публиковать значения CBOE Volatility Index (VIX). Данный индекс волатильности был создан для оценки рыночных ожиданий относительно 30-дневной волатильности и рассчитывался с использованием рыночных цен at-the-money-опционов на S&P 100 Index (OEX). Спустя 10 лет, в 2003 году, CBOE совместно с Goldman Sachs обновила методику расчета VIX. Он базируется на S&P 500 Index (SPX) и оценивает ожидаемую волатильность с помощью усреднения цен опционов на SPX, выбранных по широкому списку страйков с определенными весами. Позволяя выражать волатильность через портфель SPX-опционов, новая методология трансформировала VIX из абстрактной концепции в практический стандарт торговли и хеджирования волатильности.В марте 2004 года CBOE вывела на биржу первый фьючерсный контракт на VIX. Двумя годами позже, в феврале 2006 года, CBOE запустила VIX-опционы, самый успешный продукт в истории биржи.
VIX является индексом волатильности и рассчитывается по ценам опционов, которые отражают ожидания рынка в отношении будущей волатильности. Обобщенная формула для расчета VIX имеет вид:
где
- – VIX/100;
- время до экспирации (в годах);
- цена форварда на индекс S&P 500, получаемая из цен опционов SPX;
- страйк ближайший снизу к цене форварда на индекс;
- страйк i-го out-of-the-money опциона call, если > , или put, если < , и обоих put и call, если = ;
- интервал между страйками, половина разницы между страйками с каждой стороны от :
Замечание: 
для самого нижнего страйка равен разнице между самым нижним страйком и следующим страйком. Для самого верхнего страйка – разница между самым верхним и предыдущим.
- безрисковая ставка к экспирации;
– среднее значением между ценами bid и ask для опциона со страйком , для - – это среднее цен bid и ask двух опционов put и call.
VIX измеряет 30-дневную ожидаемую волатильность индекса S&P 500. Компонентами VIX являются опционы call и put ближней и следующей серий, обычно это первый и второй месячные контракты SPX. Ближняя серия должна иметь срок как минимум одну неделю до экспирации. Для каждой выбранной опционной серии вычисляется квадрат волатильности –
по формуле:
Сопоставив формулы (1 – 3) и (4 – 5) между собой, приходим к выводу, что индекс волатильности Московской биржи RVI является точной копией индекса Чикагской опционной биржи VIX. Отличие RVI от VIX лишь в отсутствии фактора роста 
, а также в способе определения опционов, участвующих в расчетах, и их цен. Первое следует из того, что в расчетах индекса RVI участвуют опционы на фьючерсный контракт, а не equity актив как у VIX. Последнее, вероятно, продиктовано низкой ликвидностью российского опционного рынка.
Документ CBOE, раскрывающий методику расчета VIX, содержит ссылку на материалы компании Goldman Sachs, в которых приводится описание способов оценки Volatility Swap и Variance Swap. Математика VIX тесно переплетена с математикой прайсинга свопов волатильности. И это не случайно, т.к. новый VIX (запущенный в 2003 г.) разрабатывался CBOE совместно с инвестиционным банком Goldman Sachs. Последний в свою очередь активно продвигал торговлю свопами на волатильность – в 1999 году была опубликована знаменитая статья «More than you ever wanted to know about volatility swaps», в которой авторы – количественные аналитики из Goldman Sachs - дали описание методики оценки стоимости этих свопов. Идея создать индекс волатильности, привязанный к реальному инструменту, денежный поток которого напрямую зависит от этой волатильности, оказалась весьма успешной – фьючерсы и опционы на VIX приобрели большую популярность среди инвесторов.
Variance Swap
Как отмечено выше, методика расчета индекса VIX тесно связана с теорией свопов волатильности. Основой данного класса финансовых инструментов является понятие Variance Swap.
Variance Swap (VS) – это форвардный контракт на годовую дисперсию (variance), квадрат реализованной волатильности (realized volatility). Выплата на срок экспирации по данному свопу описывается формулой:
где
- реализованная дисперсия акции, фьючерса, индекса и т.п., указанная в годовом выражении, за период обращения контракта;
– цена поставки контракта;
N - – номинал свопа на единицу годовой дисперсии.
Владелец VS при экспирации контракта получит N долларов за каждый пункт, на который реализованная дисперсияпревысит цену поставки . Поэтому справедливое значение дисперсии (по мнению рынка) равно цене поставки VS, при которой стоимость свопа будет нулевой. Справедливое значение дисперсии в данном контексте служит хорошим ориентиром для значения индекса волатильности VIX. Таким образом, методику оценки стоимости VS можно применять и в расчетах VIX.
Оценка стоимости VS производится с помощью стратегии репликации свопа через портфель опционов. В основе данной стратегии лежит понятие log-контракта – экзотического опциона на акцию (индекс, фьючерс и т.п.), хеджирование которого обеспечивает выплату, эквивалентную дисперсии доходностей цен этой акции. Log-контракт в свою очередь может быть реплицирован через портфель ванильных опционов на тот же базовый актив. Это дает возможность выразить стоимость VS через цены опционов.
Обозначим V показатель чувствительности цены опциона 
к дисперсии базового актива 
(назовем его Variance Vega), определяющий на сколько изменится цена опциона в случае изменения дисперсии его базового актива:
На Рисунке 1 представлены графики изменения показателя Variance Vega для опционов с различными страйками в зависимости от цены базового актива (левая часть), а также графики Variance Vega портфелей, состоящих из этих опционов (правая часть). Каждый график слева показывает вклад отдельного опциона в V портфеля. Соответствующий ему график справа показывает сумму этих вкладов, взвешенных двумя способами: штриховая линия – с равными весами, сплошная линия – с весами обратно пропорциональными квадрату страйка. Число опционов увеличивается, а расстояние между страйками уменьшается от верхнего графика к нижнему.
Рисунок 1
Таким образом, Variance Vega портфеля, состоящего из опционов всех страйков, взвешенных обратно пропорционально квадрату страйка, не зависит от цены базового актива. Это как раз то, что нужно для торговли дисперсией. Как выглядит подобный портфель опционов? и каким образом торговля этим портфелем зависит от дисперсии базового актива?
Рассмотрим портфель 
, состоящий из опционов со всеми страйками K с одинаковым сроком до экспирации 
, взвешенными обратно пропорционально квадрату K. В виду того, что out-of-the-money опционы, как правило, более ликвидны, будем использовать put опционы 
для страйков K, принимающих значения от 0 до некоторой ориентировочной цены 
и call опционы 
для страйков от до бесконечности. Цену можно рассматривать как at-the-money уровень форварда на базовый актив (или цену фьючерса) со сроком, обозначающий границу между ликвидными put и call опционами.
В момент экспирации, когда t=T, можно показать, что суммарная выплата всех опционов указанного выше портфеля равна:
Аналогично в момент времени t после сложения всех цен опционов, стоимость портфеля составит:
Variance Vega данного портфеля:
Чтобы получить начальную Variance Vega в размере $1 на единицу квадрата волатильности, необходимо открыть (2/T) единиц портфеля. Примем за П стоимость нового портфеля:
Первое слагаемое в выплате по портфелю из формулы (11) описывает 1/ форвардных контрактов на акцию с ценой поставки 
. Это не опцион, а линейный актив, который может быть статически захеджирован один раз и на весь период без каких либо оценок волатильности акции. Второе слагаемое - 
- описывает короткую позицию по log-контракту с расчетной ценой . Хеджирование данного контракта зависит от волатильности акции. Таким образом, чувствительность портфеля к волатильности базового актива полностью содержит в себе log-контракт.
Предположим, что динамику цен базового актива можно описать с помощью уравнения:
Для упрощения также решим, что дивиденды по акциям не начисляются. Формула для дисперсии случайного процесса имеет вид:
Процедура оценки свопа ничем не отличается от процедуры оценки любого другого производного инструмента. Стоимость форвардного контракта F на будущую реализованную волатильность со страйком K равна ожидаемой выплате в текущих ценах под риск-нейтральной мерой:
где
r – безрисковая ставка, соответствующая времени T;
E – математическое ожидание.
Справедливой стоимостью будущей реализованной дисперсии является страйк , для которого текущая стоимость контракта равна нулю:
Используя (13) и (15), получаем формулу для вычисления справедливой стоимости дисперсии:
Применив лемму Ито для 
, находим:
Вычитая (17) из (12), получаем:
Просуммировав (18) от 0 до T, получаем:
Данное тождество определяет стратегию репликации дисперсии. Первое слагаемое в скобках соответствует финансовому результату от непрерывной ребалансировки позиции в акциях таким образом, что стоимость 1/ акций в любой момент времени составляет $1. Второе слагаемое представляет собой статичную короткую позицию в контракте, выплата по которому на экспирацию составляет логарифм доходности акции за период.
Формула (19) предлагает метод вычисления справедливой стоимости дисперсии. При этом риск-нейтральное ожидаемое значение правой части формулы представляет собой стоимость репликации:
Ожидаемое значение первого слагаемого в скобках в формуле (20) составляет стоимость ребалансировки портфеля, состоящего из 1/ акций. В риск-нейтральном мире с постоянной безрисковой ставкой цена хеджирования такого портфеля составит:
Второе слагаемое – это log-контракт. В виду того, что не существует подобного свободно торгующегося контракта, для воспроизведения выплат по нему необходимо выделить из его профиля выплат на экспирацию линейную и нелинейную части и реплицировать каждую отдельно. Линейную часть можно продублировать с помощью форвардного контракта на акцию со сроком T, оставшуюся нелинейную часть – с помощью ванильных опционов со сроком экспирации T.
Для определения границы между ликвидными put и call опционами введем параметр , обозначающий эту границу. Выплату по log-контракту представим в виде:
Второе слагаемое в правой части (22) – это константа, не зависящая от финальной цены акции 
, следовательно, должно быть реплицировано только первое слагаемое. Как его повторить известно из формулы (8) – это форвардный контракт плюс портфель опционов с весами обратными квадрату величины страйка:
Справедливое значение будущей дисперсии может быть связано с начальным справедливым значением каждого слагаемого в формуле (21). Используя равенства (21) и (23), получаем:
где P(K) и C(K) означают, соответственно, текущие справедливые цены put и call опционов со страйком K. Если используются текущие рыночные цены опционов, получается текущая рыночная оценка будущей дисперсии. Именно эта формула лежит в основе расчета индекса волатильности VIX.
Формула (4) – это дискретная копия формулы (24), из которой убраны первые три слагаемых (вероятно, для упрощения). Определенные интегралы представлены в виде соответствующих сумм. Последнее слагаемое в формуле (4) – это элемент корректировки в случаях, когда цена форварда F не совпадает с центральным страйком .
Заключение
В основе расчета индекса волатильности российского рынка RVI лежит методика вычисления индекса волатильности VIX Чикагской биржи. Согласно данной методике, значение индекса представляет собой взвешенное среднее волатильностей двух опционных серий. Данное усреднение предполагает, что в результате получится значение волатильности, соответствующее 30-дневному периоду. Методика расчета волатильности для каждой опционной серии, участвующей в расчетах VIX (и RVI), основывается на теории оценки свопов волатильности. Моделирование справедливой стоимости свопа волатильности имеет ряд допущений, одно (и основное, по мнению автора) из них – это то, что динамика цен представляет собой геометрическое броуновское движение, т.е. непрерывный процесс без скачков (jumps). Это допущение может послужить причиной недооценки волатильности индексами VIX и RVI.
автор - опционный трейдер ИФ "ОЛМА", основатель сайта quant-lab.ru